Lema de Zorn

Lema de Zorn - http://pt.wikipedia.org/wiki/Lema_de_Zorn
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O Lema de Zorn é um axioma da Teoria dos Conjuntos, normalmente apresentado como:

Se, em um conjunto não-vazio e parcialmente ordenado, todo subconjunto totalmente ordenado tem uma quota superior, então o conjunto tem um elemento maximal.

O Lema de Zorn é equivalente ao axioma da escolha.

O nome faz referência ao matemático Max Zorn, mas sua primeira formulação se deve ao matemático polonês Kazimierz Kuratowski.

[editar] Exemplo de uma aplicação

Como um exemplo simples de uma aplicação do Lema de Zorn, vamos provar que todo espaço vetorial possui uma base. Para isto, basta mostrar que todo espaço vetorial contém um conjunto de vetores linearmente independentes (basta tomar um conjunto unitário de um vetor não nulo), e que todo conjunto linearmente independente é um subconjunto de uma base.

Esta segunda parte será provada pelo Lema de Zorn. Seja L um conjunto linearmente independente de vetores de um espaço vetorial V. O trabalho é:

* Construir um conjunto e definir uma relação de ordem parcial. Como desejamos aumentar um conjunto linearmente independente, torna-se natural definir X = \{ x \in P(V) | L \subseteq x \land \mbox{x linearmente independente} \} \,. Sendo X um conjunto de conjuntos, a ordem parcial natural em X é a relação x \subseteq y\,. X não é vazio, porque L \in X\,.
* Provar que todo subconjunto totalmente ordenado de X tem uma quota superior. Em detalhes, isso é feito assim:
o Seja T \subseteq X, T \ne \varnothing\, totalmente ordenado pela relação \subseteq\,.
o Q = \bigcup_{x \in T} x\,, obviamente, satisfaz x \in T \implies x \subseteq Q\,
o Como L é um subconjunto de todo elemento de X, então L é um subconjunto de todo elemento de T. Logo, L \subseteq Q\,
o A prova de que Q é linearmente independente é simples mas trabalhosa:
+ Seja \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \ldots \alpha_n v_n = 0\, uma combinação linear de elementos distintos de Q.
+ Como Q é uma união de conjuntos, temos que \forall i, 1 \leq i \leq n, \exists Q_i \in T, v_i \in Q_i\,.
+ Como T é totalmente ordenado, dentre os Q_i\, existe um deles Qmax que é superconjunto de todos os outros.
+ Então temos que \forall i, v_i \in Q_{max}\,, portanto \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \ldots \alpha_n v_n = 0\, é uma combinação linear de vetores de Q_{max}\,.
+ Como, por construção, Q_{max}\, é um conjunto linearmente independente, temos que \forall i, \alpha_i = 0\,.
+ Ou seja, provou-se que Q é linearmente independente.
o Como Q é linearmente independente e é um superconjunto de L, Q \in X\,. Como Q é a união dos elementos de T, \forall x \in T, x \subseteq Q\,. Logo Q é uma quota superior de T
* Agora aplica-se o Lema de Zorn ao conjunto X. Seja B um elemento maximal. Devemos provar que B é uma base:
o L \subseteq B\,
o B é linearmente independente
o Devemos provar que B gera V
+ Seja x \in V, x \notin B, x \ne 0.
+ Como B é maximal, o superconjunto próprio de B definido por B \cup \{ x \}\, é linearmente dependente.
+ Ou seja, existe uma combinação linear \alpha_1 v_1 + \ldots + \alpha_n v_n + \beta x = 0\, em que nem todos coeficientes são zero.
+ \beta \ne 0\,, caso contrário B não seria linearmente independente.
+ Portanto, temos que x = \frac {- \alpha_1} {\beta} v_1 + \ldots + \frac {- \alpha_n} {\beta} v_n\,.
o Ou seja, B gera V.
* A conclusão: todo conjunto linearmente independente de V é subconjunto de uma base de V.