Último Teorema de Fermat

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Pierre de Fermat
Pierre de Fermat

O Último teorema de Fermat, ou teorema de Fermat-Wiles, afirma que não existe nenhum conjunto de inteiros positivos x, y, z e n com n maior que 2 que satisfaça

x^n+y^n=z^n \,\! .

O teorema deve seu nome a Pierre de Fermat, que escreveu às margens de uma tradução de Arithmetica de Diofanto, ao lado do enunciado deste problema:

"Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet."
"Encontrei uma demonstração verdadeiramente maravilhosa disto, mas esta margem é estreita demais para contê-la."

Após ter sido objeto de fervorosas pesquisas durante mais de 300 anos (a nota acima insinuava que uma demonstração elementar era possível — o que atiçou a curiosidade de todos), ele foi finalmente demonstrado em 1994 pelo matemático britânico Andrew Wiles. A grande maioria dos matemáticos acredita hoje que Fermat estava enganado: a prova utiliza ferramentas matemáticas bastante elaboradas da Teoria dos números — abrangendo curvas elípticas, formas modulares e representações galoisianas (termo derivado de Évariste Galois, matemático francês) — as quais ainda não existiam na época em que viveu Fermat.

Mais precisamente, Wiles provou um caso particular (para curvas ditas semi-estáveis) da Conjectura de Shimura-Taniyama-Weil, pois sabia-se já havia algum tempo que este caso implicava o teorema.

Este teorema não tem aplicação nenhuma per se: ele toma um valor importante, no entanto, devido às idéias e às ferramentas matemáticas que foram inventadas e desenvolvidas para prová-lo. Pode-se entender este teorema graficamente considerando-se a curva da equação xn + yn = 1 quando n > 2, essa curva não passa por nenhum ponto com coordenadas racionais diferentes de zero.


Observação

Sendo costume que se dê a um teorema o nome daquele que fez sua demonstração, o título «Teorema de Fermat» pode não ser apropriado. Dever-se-ia falar ou de uma conjectura de Fermat ou do teorema de Wiles.

[editar] Extensão do Teorema de Pitágoras?

Para os primeiros dois valores de n inteiro existe uma infinidade de soluções: o caso n = 1 é evidente, o caso n = 2 — conhecido como teorema de Pitágoras — admite, entre outras, a solução clássica 42 + 32 = 52 que utiliza o método do círculo. Outras soluções podem ser encontradas usando-se o esquema:

\left({a^2-b^2}\right)^2+\left({2ab}\right)^2=\left({a^2+b^2}\right)^2 \,\! ,

para todos a, b inteiros primos entre si, sendo que outras soluções são encontradas multiplicando-se a e b por um número inteiro. Os números que satisfazem o Teorema de Pitágoras são chamados de trios pitagóricos (ou ternos pitagóricos).

[editar] O Último Teorema de Fermat e a Literatura

Propiciando notáveis avanços em vários ramos da matemática, a saga de 359 anos de tentativas, erros e acertos está admiravelmente descrita no livro “O Último Teorema de Fermat”[1] , do autor britânico Simon Lehna Singh, com 324 páginas.